Zur praktischen Anwendung im Feld ist der Verkleinerungsfaktor als Kehrwert des Abbildungsmaßstabs ( v = β − 1 {\displaystyle v=\beta ^{-1}} ) oft geeigneter:

Bei rein strahlenoptischer Betrachtungsweise hängt die Größe des Unschärfekreises einer Lochkamera von der Gegenstandsweite g {\displaystyle g} , der Bildweite b {\displaystyle b} und dem Lochdurchmesser D {\displaystyle D} ab. Ein Objekt wird dann hinreichend scharf abgebildet, wenn gilt:

Rundum KameraAuto

In der Computeranimation ist die Schärfentiefe ein optischer Effekt, der im Nachhinein in jedes einzelne Bild eingerechnet wird und deshalb erheblichen Rechenaufwand bedeutet. Meist wird hier der englische Begriff depth of field (DOF) benutzt.

Wird diese Gleichung nach g {\displaystyle g} aufgelöst, erhält man die Einstellweite, die bei gegebener Nah- und Fernpunktdistanz den kleinsten Blendenwert bzw. die größte Blendenöffnung ermöglicht, mit dem der Bereich zwischen dem Nah- und Fernpunkt hinreichend scharf abgebildet werden kann:

Der Abbildungsfehler, dass Bildelemente nicht so durchgängig scharf gesehen werden wie mit einem nicht-fehlsichtigen Auge (erklärt bei Auflösungsvermögen#Auge) kann verschiedene Ursachen haben (siehe dazu Unschärfe#Fotografie). Die Schärfentiefe wird außer durch die Wahl der Brennweite und der Entfernungseinstellung auch durch die Blendenöffnung beeinflusst: je größer die Blendenöffnung (kleine Blendenzahl), umso geringer ist die Schärfentiefe. Bei einer Entfernungseinstellung (Fokussierung) auf ein nahes Objekt ist der optisch als scharf erfasste Objektraum von–bis kürzer als bei einer Fokussierung auf ein weiter entferntes Objekt. Die Wahl der Blendenöffnung ist Teil der Belichtungseinstellung und kann „manuell“ auch durch Variation der Verschlusszeit bei automatischen Kameras beeinflusst werden.

Diese Regel gilt, wenn in beiden Fällen die gleiche Blende verwendet wird und wenn der zweite Term im Nenner vernachlässigt werden kann: β 2 ≫ k 2 ⋅ Z 2 f 2 {\displaystyle \beta ^{2}\gg {\frac {k^{2}\cdot Z^{2}}{f^{2}}}} . Durch Substitution von β {\displaystyle \beta } ergibt sich als Bedingung für die Gültigkeit der Regel:

Bei kleinen Aufnahmeformaten, z. B. beim Erstellen von Ausschnittsvergrößerungen oder beim Einsatz von Digitalkameras mit kleinen Bildsensoren (Formatfaktor), verkleinert sich der maximal zulässige Zerstreuungskreis, was den Schärfentiefebereich zunächst verkleinert. Die kleineren Aufnahmeformate erfordern jedoch proportional kleinere Objektivbrennweiten, um gleichbleibende Blickwinkel zu gewährleisten – das hingegen vergrößert den Schärfentiefebereich. Beides, die Verkleinerung der Bildsensoren (⇒ Verkleinerung der maximal zulässigen Zerstreuungskreise) und die deshalb notwendige Verkleinerung der Objektivbrennweiten, beeinflusst den Schärfentiefebereich. Die Einflüsse sind zwar gegensinnig, sie gleichen sich aber nicht aus. Der maximal zulässige Zerstreuungskreis geht linear und die Objektivbrennweite annähernd quadratisch in die Schärfentiefe ein – also überwiegt der Einfluss der Objektivbrennweite. Dadurch wird die Schärfentiefe entsprechend größer und es wird zunehmend schwieriger, die selektive Schärfe als fotografisches Gestaltungsmittel direkt beim Fotografieren einzusetzen.

Das heißt, dass zum einen im Grenzfall g ≊ d h {\displaystyle g\approxeq d_{h}} die Näherung gegen den exakten Wert konvergiert und ihn für g = d h {\displaystyle g=d_{h}} auch einnimmt. Zum anderen ergeben sich für den anderen Grenzfall g ≊ f {\displaystyle g\approxeq f} Werte, die nach oben durch den relativen Fehler für die Näherungsformel der Hyperfokaldistanz beschränkt sind. Für ein Objektiv mit einer Brennweite von 50 mm ergibt sich unter der Annahme

Die ästhetische Qualität von Unschärfe wird auch als Bokeh beschrieben, Unschärfe durch Weichzeichnen ist eine Veränderung der Bildaussage mit Hilfe technischer Mittel. Der Raum der Schärfentiefe auf der Bildseite (also in Lichtrichtung hinter der Linse) wird Abbildungstiefe genannt.

Ferner kann festgehalten werden, dass die Schärfentiefe bei konstantem Verhältnis von Bildsensordiagonale d {\displaystyle d} und Blendenzahl k {\displaystyle k} bei gleichem Bildwinkel und gleicher Anzahl der akzeptablen Zerstreuungskreise immer gleich ist.

Somit kann der Term g − f {\displaystyle g-f} durch f ⋅ β − 1 {\displaystyle f\cdot \beta ^{-1}} substituiert werden. Für die Schärfentiefe ergibt sich dann die Beziehung:

In der Makrofotografie ist das Ziel ein Objekt sehr groß und detailliert wiederzugeben. Speziell zu diesem Zweck gerechnete Objektive erreichen oft einen Abbildungsmaßstab von 1:1, d. h. das Bild auf dem Sensor/Film entspricht der Größe des abgebildeten Objektes. Die Gegenstandsweite liegt dann in der Größenordnung der Brennweite. Aus der Linsengleichung ergibt sich, dass bei einem Abbildungsmaßstand von 1:1 die Gegenstandsweite exakt das doppelte der Brennweite beträgt. Diese Objektive weisen auf dem Fokusring neben der Information zur Einstellweite auch die des Abbildungsmaßstabs auf. Der Fotograf stellt dann am Fokusring den gewünschten Abbildungsmaßstab ein und fokussiert das Bild durch Justierung der Entfernung mittels eines Schlittens. Die Bedeutung der Gegenstandsweite tritt somit gegenüber der des Abbildungsmaßstabs zurück, und der Wunsch, die Schärfentiefe nach dem Abbildungsmaßstab zu parametrisieren, liegt auf der Hand.

Möchte man nun die hyperfokale Entfernung d h {\displaystyle d_{h}} nach der Bilddiagonale d {\displaystyle d} parametrisieren liegt mit Hinblick auf den Cropfaktor die Vermutung nahe, dass das Verhältnis zwischen Brennweite und Sensordiagonale eine Konstante ist, solange der Öffnungswinkel der Abbildung sich nicht ändert. Die detaillierte Betrachtung geht von der Formel für die gnomonische bzw. rectilineare Projektion R = f ⋅ tan ⁡ ( β ) {\displaystyle R=f\cdot \tan(\beta )} aus, die das Verhältnis zwischen Einfallswinkel des Lichtes und Abstand des Bildpunktes von der optischen Achse beschreibt. Für einen Bildkreis mit Öffnungswinkel α = 2 ⋅ β {\displaystyle \alpha =2\cdot \beta } (wobei α {\displaystyle \alpha } der gewünschte Bildwinkel ist, der für die perspektivische Bildwirkung maßgeblich ist) ergibt sich die Beziehung:

Wird der Unschärfebereich als gestalterisches Mittel der Bildkomposition genutzt, stellt sich schnell die Frage nach der Beeinflussung der Größe der Unschärfekreise durch die gewählten Belichtungsparameter und der fotografischen Ausrüstung. Die Abhängigkeiten werden beschrieben, indem die Gleichung für den Fernpunkt des Schärfebereiches nach Z {\displaystyle Z} aufgelöst wird.

Der optimale Lochdurchmesser nimmt also für unendliche Gegenstandsweiten ( β = 0 {\displaystyle \beta =0} ) seinen maximal möglichen Wert an:

Zur Bestimmung der Güte der Näherung wird zunächst der relative Fehler Δ r ( g ) {\displaystyle \Delta _{r}(g)} aus dem Verhältnis des exakten Wertes zur Näherung gebildet:

In der geometrischen Optik können nur diejenigen Punkte als scharfe Bildpunkte in der Bildebene (Film, Chip) wiedergegeben werden, die auf der Ebene liegen, die sich in der Gegenstandsweite zur Linse befindet. Alle anderen Punkte, die sich auf näher oder weiter entfernt liegenden Ebenen befinden, erscheinen in der Bildebene nicht mehr als Punkte, sondern als Scheibchen, sogenannte Zerstreuungs- oder Unschärfekreise (Z).

Durch Renormierung ergibt sich: f 2 k ⋅ Z ≈ 2 ⋅ d f ⋅ d n Δ d {\displaystyle {\frac {f^{2}}{k\cdot Z}}\approx {\frac {2\cdot d_{f}\cdot d_{n}}{\Delta d}}} . Diese Gleichung kann wahlweise nach k , f {\displaystyle k,f} oder Z {\displaystyle Z} aufgelöst werden, so dass für den gewünschten Parameter bei Vorgabe der restlichen, der optimaler Wert gefunden werden kann.

Da die kleinen Sensoren moderner Kompakt-Digitalkameras aber sehr kleine zulässige Zerstreuungskreise erfordern, rückt k f {\displaystyle k_{f}} in den Bereich üblicher Blendenzahlen. Für einen 1/1,8″-Sensor liegt die förderliche Blende zum Beispiel bei zirka f/8, im Nahbereich noch darunter.

Will man nun den Term k ⋅ Z {\displaystyle k\cdot Z} durch d h {\displaystyle d_{h}} ausdrücken, so ergibt sich:

Viele bekannte Verfahren in der Computergrafik nutzen aus Gründen der Geschwindigkeit direkte Transformationen (z. B. über Matrixmultiplikationen), um die Geometrie in Bilddaten zu überführen. Durch diese mathematischen Konstrukte ergibt sich jedoch auch eine unendliche Schärfentiefe. Da die Schärfentiefe jedoch auch als gestalterisches Mittel eingesetzt wird, wurden verschiedene Methoden entwickelt, um diesen Effekt nachzuahmen.

Andererseits kann k ⋅ Z f ⋅ β {\displaystyle {\frac {k\cdot Z}{f\cdot \beta }}} durch 1 N {\displaystyle {\frac {1}{N}}} substituiert werden. Durch anschließende Multiplikation des Zählers und Nenners mit N 2 {\displaystyle N^{2}} ergibt sich:

Durch Substitution von f 2 k ⋅ Z + f {\displaystyle {\frac {f^{2}}{k\cdot Z}}+f} durch die Hyperfokaldistanz d h {\displaystyle d_{h}} ergibt sich dann die Beziehung:

und anschließend das Ergebnis für die Grenzfälle g = d h {\displaystyle g=d_{h}} und g = f {\displaystyle g=f} betrachtet:

Die Einschränkung d h ≫ f {\displaystyle d_{h}\gg f} entfällt, da die Differenz d h − f {\displaystyle d_{h}-f} durch die Normierung auf eins gesetzt wurde. Für die Differenz g − f {\displaystyle {\mathfrak {g}}-{\mathfrak {f}}} wird die Hilfsvariable g ∗ {\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}} eingeführt, die für den Fall großer Gegenstandsweiten ( g ≫ f {\displaystyle g\gg f} bzw. g ≫ f {\displaystyle {\mathfrak {g}}\gg {\mathfrak {f}}} ) näherungsweise durch g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} ersetzt werden darf. Für den Nah- und Fernpunkt ergibt sich dann:

Dies bedeutet, dass die hyperfokale Entfernung d h {\displaystyle d_{h}} linear mit der Bilddiagonalen d {\displaystyle d} zunimmt, wenn die Blendenzahl k {\displaystyle k} , die Anzahl der Bildpunkte N {\displaystyle N} auf der Bilddiagonalen und der Bildwinkel α {\displaystyle \alpha } konstant gehalten werden. Ebenso kann der Formel abgelesen werden, dass die Schärfentiefe desto geringer ist, je kleiner die Blendenzahl oder der Bildwinkel sind. Weitwinkelobjektive haben also bei sonst gleichen Voraussetzungen einen größeren Schärfentiefebereich als Teleobjektive, beziehungsweise die hyperfokale Entfernung ist bei Weitwinkelobjektiven kleiner als bei Teleobjektiven.

Solange die Brennweite f {\displaystyle f} gegenüber der Einstellweite g {\displaystyle g} und der hyperfokalen Distanz d h {\displaystyle d_{h}} vernachlässigt werden kann ( d h > g ≫ f {\displaystyle d_{h}>g\gg f} ), vereinfacht sich die Formel zu folgender Näherungsgleichung:

Mit k ⋅ Z ⋅ β − 1 ≪ f {\displaystyle k\cdot Z\cdot \beta ^{-1}\ll f} kann f {\displaystyle f} gegenüber d h {\displaystyle d_{h}} und 1 {\displaystyle 1} gegenüber N 2 {\displaystyle N^{2}} vernachlässigt werden und folgende Näherung ist für den Bereich der Makrofotografie gut erfüllt:

Hierbei ist λ {\displaystyle \lambda } die Wellenlänge, n der Brechungsindex und u der Aperturwinkel des abbildenden Systems.

Es ist zu beachten, dass durch die Normierung alle Größen dimensionslos sind. Die jeweils metrischen Größen ergeben sich durch Multiplikation mit dem Normfaktor d h ∗ {\displaystyle d_{h}^{*}} zu: d n = d n ⋅ d h ∗ {\displaystyle d_{n}={\mathfrak {d}}_{n}\cdot d_{h}^{*}} und d f = d f ⋅ d h ∗ {\displaystyle d_{f}={\mathfrak {d}}_{f}\cdot d_{h}^{*}} .

und der zugehörige Unschärfekreis steigt im gleichen Maß: Z w ∗ = Z min, w ∗ ⋅ 1 + β {\displaystyle Z_{w}^{*}=Z_{\text{min, w}}^{*}\cdot {\sqrt {1+\beta }}} .

ergibt sich dann grundsätzlich in etwas schlankerer Herleitung das gleiche Ergebnis. Jedoch legt diese Herleitung nahe, für die Näherung von Δ d {\displaystyle \Delta d} nur die Forderung d h ≫ f {\displaystyle d_{h}\gg f} zu stellen und auf eine Einschränkung der Einstellweite zu verzichten, so dass die Näherung für Einstellweiten d h ⪆ g ⪆ f {\displaystyle d_{h}\gtrapprox g\gtrapprox f} gültig ist. Die Näherung ergibt sich dann zu:

Zur exakten Bestimmung von N {\displaystyle N} wird aus den obigen Formeln für Δ d {\displaystyle \Delta _{d}} folgende Beziehung extrahiert:

Außerhalb der Makrofotografie ergibt sich für hinreichend kleine Abbildungsmaßstäbe ( β ≪ 1 {\displaystyle \beta \ll 1} ) eine Vereinfachung zu:

Die folgende Tabelle veranschaulicht die maximale Größe der Zerstreuungskreise je nach Aufnahmeformat des jeweiligen Fotoapparats:

Plötzlich auftretende Hindernisse oder Personen und wenig Platz beim Rangieren sind die überwiegenden Ursachen für eine Kollision im Straßenverkehr. Wir rüsten individuell für Ihr Wohnmobil ein 360 Grad Rundumkamerasystem nach, welches einfach und bedienfreundlich aus dem Cockpit angesehen werden kann. Durch die Draufsicht, die von 4, 3 oder 6 Weitwinkelkameras entwickelt wird, kann beim Rangieren intuitiv reagiert werden und das Kolissionsrisiko wird deutlich verringert!

Für die nun folgenden Betrachtungen müssen wir uns darüber im Klaren sein, dass die Gegenstandsweite g {\displaystyle g} nicht die Entfernung eines realen Gegenstandes von der Hauptebene des Objektivs bezeichnet, sondern die Einstellweite am Objektiv für einen fiktiven Gegenstand. g {\displaystyle g} ist jedoch immer die Entfernung, aus der sich nach der Linsenformel die Bildweite b {\displaystyle b} ergibt.

Geometrische Überlegungen zum Zerstreuungskreis Z {\displaystyle Z} , dem Durchmesser der Austrittspupille D A {\displaystyle D_{\text{A}}} und den Bildweiten b − = b − d b − {\displaystyle b_{-}=b-db_{-}} und b + = b + d b + {\displaystyle b_{+}=b+db_{+}} mit der Einstellbildweite b {\displaystyle b} und den Bildweiten der objektseitigen Fern- bzw. Nahpunkte b − {\displaystyle b_{-}} und b + {\displaystyle b_{+}} führen mithilfe des Strahlensatzes zu der Beziehung

Für eine Vollformatkamera mit einem dort gängigen Normalobjektiv ( f = 50 mm {\displaystyle f=50\,{\text{mm}}} ) liegt der Faktor vor der Summe bei einer eingestellten Blende von 8 bei ca. 0,005, das heißt die Summe muss deutlich kleiner bleiben als 200, sie wächst aber stetig. Die Summe kann leicht aus den Näherungswerten der q i {\displaystyle q_{i}} berechnet werden, da sich für die q i {\displaystyle q_{i}} ganzzahlige positive Werte ergeben:

Während die linke Näherung für kleine Einstellweiten allgemeine Gültigkeit besitzt, kommen im rechten Teil dieser Gleichung zwei Näherungen zum Tragen, deren Bedingungen ( g ≫ f {\displaystyle g\gg f} und g ≪ d h {\displaystyle g\ll d_{h}} ) gegenläufig sind und es stellt sich die Frage, ob ein Bereich existiert, in dem eine Anwendung sinnvoll ist. Für kleine g {\displaystyle g} führt die Ersetzung von g − f {\displaystyle g-f} durch g zu einer Vergrößerung des Zählers, während der Nenner nahe eins bleibt. Dies führt zu einem positiven Fehler. Für große g {\displaystyle g} führt deren Vernachlässigung im Zähler zu einem negativen Fehler. Es muss also einen Bereich geben, in dem sich die Fehler durch die beiden Näherungen nahezu ausgleichen. Mit einer Vollformatkamera mit Z = 0,03 mm, f = 50 mm, g = 3 m und Blende 4 ergibt bei exakter Rechnung eine Schärfentiefe von 86,69 cm. Die Näherung Δ d = 2 ⋅ g 2 {\displaystyle \Delta d=2\cdot g^{2}} ergibt 86,4 mm. Die Näherung ist also durchaus für Porträt- oder Studiofotografie brauchbar.

Alle optischen Abbildungen sind durch Beugung begrenzt, sodass ein einzelner Punkt niemals auf einen Punkt, sondern nur auf ein Beugungsscheibchen (oder Airyscheibchen) abgebildet werden kann. Die Trennschärfe zweier benachbarter Beugungsscheibchen definiert analog zum fotografischen Film einen maximal zulässigen Zerstreuungskreis. Nach dem Rayleigh-Kriterium muss die Intensität zwischen zwei benachbarten Bildpunkten um 20 Prozent abfallen, um als scharf zu gelten. Die Größe des Beugungsscheibchens ist abhängig von der Wellenlänge des Lichts. Man definiert die Rayleighsche Schärfentiefe als den Bereich, innerhalb dessen sich die Abbildungsgröße nicht ändert, das heißt konstant dem kleinstmöglichen (d. h. beugungsbegrenzten) Wert entspricht:

Der gezielte Einsatz der Schärfentiefe durch Einstellen der Blendenzahl, der Entfernung und der Brennweite ermöglicht es, den Blick des Betrachters auf das Hauptmotiv zu lenken. Dazu schränkt der Fotograf die Schärfentiefe so eng wie möglich um die Ebene ein, auf der sich das Hauptmotiv befindet. Der Vorder- und Hintergrund wird dadurch unscharf abgebildet. Diese selektive Unschärfe lenkt weniger vom Hauptmotiv ab, das durch die selektive Schärfe akzentuiert wird.

Wenn die Einstellweite der Hyperfokalen Entfernung entspricht gelten die beiden folgenden Bedingungen: N = 1 {\displaystyle N=1} und d h = g {\displaystyle d_{h}=g} .

Wird der akzeptable Fehler auf 10 % beschränkt, darf der Wert der Summe 20 nicht übersteigen. Das Ergebnis für j = 6 {\displaystyle j=6} liegt dann schon außerhalb des akzeptablen Bereichs.

Aus der wellenoptischen Betrachtungsweise lässt sich aus dem Rayleigh-Kriterium für die Beugung an einer Lochblende folgender Zusammenhang zwischen Unschärfekreis Z ∗ {\displaystyle Z^{*}} und Lochdurchmesser D {\displaystyle D} ableiten.

In 3D-Computerspielen hat sich das direkte Rendering von Polygonen durchgesetzt. Dieses Verfahren besitzt Geschwindigkeitsvorteile gegenüber dem indirekten Rendering (Raytracing), hat aber auch zugleich technische Einschränkungen. So lässt sich die Schärfentiefe nicht direkt berechnen, sondern muss in einem Postprocessing-Schritt mit Hilfe eines geeigneten Filters approximiert werden. Es handelt sich dabei um selektive Weichzeichner, die den Z-Buffer zur Kantenerkennung nutzen. Dadurch wird verhindert, dass beim Weichzeichnen des Bildes weiter vorn stehende Objekte in die Filterung des Hintergrunds mit einbezogen werden und umgekehrt. Probleme treten dabei insbesondere bei transparenten Objekten auf, da diese in separaten Postprocessing-Schritten behandelt werden müssen, was sich negativ auf die Geschwindigkeit des Bildaufbaus auswirkt.

In der folgenden Tabelle werden die Schärfentiefebereiche beispielhaft für drei verschiedene Lichtsituationen respektive Blendenzahlen für das Auge dargestellt:

In die anfänglichen geometrischen Betrachtungen fließt implizit der Abbildungsmaßstab für die rectilineare bzw. gnomonische Projektion ein: R = f ⋅ tan ⁡ ( α ) {\displaystyle R=f\cdot \tan(\alpha )} , wobei α {\displaystyle \alpha } der Einfallswinkel des Lichtstrahles und R {\displaystyle R} der Abstand des Bildpunktes von der optischen Achse ist. Fisheyeobjektive arbeiten mit anderen Projektionen, um einen Öffnungswinkel von 180° zu erreichen, dies ist mit rectilinear abbildenden Objektiven nicht möglich. Prinzipiell gibt es mehrere Projektionen, die es erlauben einen Öffnungswinkel von 180° oder größer zu erreichen, eine Vielzahl der Fisheyeobjektive arbeiten mit der equisoliden Projektion: R = 2 ⋅ f ⋅ sin ⁡ ( α / 2 ) {\displaystyle R=2\cdot f\cdot \sin(\alpha /2)} . Es gibt jedoch auch Objektive mit äquidistanter ( R = f ⋅ α {\displaystyle R=f\cdot \alpha } ) und stereografischer Projektion ( R = 2 ⋅ f ⋅ tan ⁡ ( α / 2 ) {\displaystyle R=2\cdot f\cdot \tan(\alpha /2)} ). Letzterer Typ ist sehr aufwendig und daher in der Regel auch verhältnismäßig teuer, hat aber den Vorteil, das die typischen Verzerrungen moderater ausfallen. Gemeinsam ist all diesen Objektiven jedoch, dass die Herleitung der Formel für die Schärfentiefe nicht oder nur eingeschränkt gültig ist. Eine notwendige Bedingung ist, dass die physische Blende sich entweder hinter dem Objektiv befindet (Blende ist gleich Austrittspupille), oder der bildseitige Teil des Objektivs die Blende gnomonisch abbildet. Zudem gilt die Grundannahme für die Linsengleichung

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Der Schärfentiefebereich Δ d {\displaystyle \Delta _{d}} erstreckt sich vom Nahpunkt d n {\displaystyle d_{n}} bis zum Fernpunkt d f {\displaystyle d_{f}} mit

Für den Abbildungsmaßstab von 1:1 vereinfacht sich die Formel zu: Δ d ≈ 4 ⋅ k ⋅ Z {\displaystyle \Delta _{d}\approx 4\cdot k\cdot Z} . Somit ergibt sich für eine Vollformatkamera mit einem Zerstreuungskreis 0,0288 mm bei einem Blendenwert von 8 eine Schärfentiefe von ca. 1 mm.

Für eine gegebene Einstellweite g {\displaystyle g} kann die Entfernung von der Hauptebene der Linse zum Nahpunkt d n {\displaystyle d_{n}} berechnet werden zu:

Wenn die eingestellte Gegenstandsweite gleich der Brennweite ist ( g = f {\displaystyle g=f} ), dann ist der Schärfentiefebereich null, da der Fernpunkt und der Nahpunkt identisch sind. Die Abbildung liegt dann im Unendlichen. Bei Makroaufnahmen mit entsprechend großen Abbildungsmaßstäben ergeben sich demzufolge meist recht kleine Schärfentiefebereiche.

Aus dem Abbildungsmaßstab für die gnomonische Projektion ergibt sich, dass die Ableitung der Funktion R = f ⋅ tan ⁡ ( α ) {\displaystyle R=f\cdot \tan(\alpha )} , nämlich die Winkelauflösung

Für die hier angenommenen sehr kleinen Abbildungsmaßstäbe ( β ≪ 1 {\displaystyle \beta \ll 1} ) gilt die Näherung β = f g − f ≈ f g {\displaystyle \beta ={\frac {f}{g-f}}\approx {\frac {f}{g}}} , daraus folgt: N ≈ d h g {\displaystyle N\approx {\frac {d_{h}}{g}}} .

Wenn das Auge eines Normal- oder Weitsichtigen auf die hyperfokale Entfernung scharfgestellt ist, wird der Bereich von der halben hyperfokalen Entfernung bis unendlich hinreichend scharf abgebildet und wahrgenommen. Anders ist es bei Kurzsichtigen, die aufgrund ihrer Kurzsichtigkeit nur bis zu einer maximalen Entfernung scharfstellen können und die hyperfokale Entfernung daher oft nicht erreicht werden kann.

Um bei der Bildgestaltung im Hintergrund große Unschärfekreise zu erhalten, sind Lichtstarke Objektive mit langer Brennweite und geringer Nahgrenze vorteilhaft.

Beim indirekten Rendering kann sowohl die zuvor beschriebene Methode als auch Multisampling verwendet werden, wobei zur Erzeugung eines Schärfentiefeeffekts sehr viele Samples nötig sind. Deshalb werden diese Verfahren vorzugsweise in Renderern eingesetzt, die unbiased sind. Diese entsprechen einem sehr nah an dem Modell einer Kamera angelehnten Verfahren, wo einzelne Photonen/Rays und deren Farbwert auf einem Film akkumuliert werden, d. h., mit fortlaufender Berechnung und höherer Samplezahl wird das Bildrauschen immer weiter reduziert. Im Gegensatz zu ersterem Verfahren erzeugt es glaubhaftere und realistischere Ergebnisse (Bokeh etc.), ist jedoch auch um Größenordnungen langsamer, weshalb es sich noch nicht für Echtzeitgrafik eignet.

Eine besonders einfache Beziehung ergibt sich, wenn d f {\displaystyle d_{f}} und g E {\displaystyle g_{E}} in Einheiten von d h {\displaystyle d_{h}} ausgedrückt werden ( d f = q ⋅ d h {\displaystyle d_{f}=q\cdot d_{h}} ):

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Dieser generalisierte Formalismus kann in einfacher Weise und unabhängig von Gerätekonstanten oder -einstellungen genutzt werden. Für den Schärfentiefenbereich ergibt sich nun:

Durch den generalisierten Formalismus konnte die Komplexität der Formeln drastisch reduziert werden, durch die Elimination der Objektivparameter ist es aber nicht mehr möglich, deren Einfluss auf die Schärfentiefe zu diskutieren.

Unter diesen und der zusätzlichen Annahme, das Makroobjektive habe eine Brennweite von 100 mm ergibt sich eine relative Abweichung von der exakten Formel von 5 ⋅ 10 − 6 {\displaystyle 5\cdot 10^{-6}} .

aufgrund der andersartigen Projektionen nur näherungsweise in der Nähe der optischen Achse. Keinesfalls darf der Pupillenmaßstab vernachlässigt werden.

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Der für die Akzeptanz von Schärfe maximal tolerierbare Zerstreuungskreisdurchmesser für einen Fotoapparat wird mit Z {\displaystyle Z} bezeichnet. Die absolute Größe des maximalen Zerstreuungskreises Z {\displaystyle Z} ist abhängig vom Aufnahmeformat, da sie 1/1500 der Diagonalen beträgt. Solange die Unschärfekreise nicht größer als Z {\displaystyle Z} werden, liegen sie unterhalb der Auflösungsgrenze des Auges, und die Abbildung wird als scharf erachtet. Dabei entsteht der Eindruck, das Bild weise nicht nur eine Schärfenebene, sondern einen Schärfebereich auf. Problematisch wird ein eingeschränkter Schärfentiefebereich auch dann, wenn die Schärfemessung nicht direkt in der Bildebene, sondern mit gesonderten Einstellscheiben oder Schärfesensoren erfolgt, da es dann durch Toleranzen in der Bildweite leicht zu Fokussierungsfehlern kommen kann.

eine Funktion des Einfallswinkels α {\displaystyle \alpha } ist. Da die grundlegenden geometrischen Betrachtungen ganz offensichtlich (der Faktor 2 deutet auf Symmetriebedingungen hin) für Zerstreuungskreise in der optischen Achse formuliert wurden, muss der Frage nachgegangen werden, ob die Schärfentiefe eine Funktion des Einfallswinkels ist. Für beliebige Einfallswinkel gilt folgende Beziehung zwischen der Größe des Zerstreuungskreises und der der Austrittspupille:

Für 1 / d f = 0 {\displaystyle 1/d_{f}=0} , was bedeutet, das die Einstellweite der Hyperfokaldistanz entspricht ( g = d h {\displaystyle g=d_{h}} ), erhalten wir für den Nahpunkt wieder die halbe Einstellweite.

Die Berechnung der Bilder in diesem Abschnitt erfolgte mit Hilfe eines Unbiased Renderers. Zur hinreichenden Rauschunterdrückung waren 2500 Abtastwerte pro Pixel notwendig, was einer Verfolgung von ca. 11,6 Milliarden Strahlengängen entspricht, die einschließlich multipler Spiegelungen und Brechungen in der Szene verfolgt wurden.

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Für übliche Anwendungen (kleiner Abbildungsmaßstab) in der Kleinbild-Fotografie ergibt sich eine förderliche Blende von über f/32, so dass Beugung außer in der Makrofotografie kaum eine Rolle spielt.

Von einem Objekt ausgehende Lichtstrahlen fallen durch die Lochblende auf die Bildebene (einen Schirm, einen Film oder einen Kamerabildsensor). Je nach Durchmesser der Blende werden aus diesen Lichtstrahlen mehr oder weniger dicke Lichtkegel. Durch Schnitt der Bildebene mit einem Kegel entsteht auf der Ebene ein Kreis, sogenannte Zerstreuungskreise oder Unschärfekreise (Z). Sie existieren bei jeder Dimensionierung der Abstände zwischen Objekt, Blende und Bild. Die Kreisgröße in der Bildebene berechnet sich nach dem Strahlensatz. Dabei ist der Einfluss des Lochblendendurchmessers einfach proportional: Je größer das Loch, desto größer der Unschärfekreis. Für eine schärfere Abbildung wird ein kleineres Loch benötigt. Wird jedoch das Loch zu stark verkleinert, so wird der Bereich der geometrischen Optik verlassen und es treten die Welleneigenschaften des Lichtes in den Vordergrund. Die dabei auftretenden Beugungseffekte werden umso stärker, je kleiner das Loch ist. Hierdurch kommt es zu einer Abnahme der Schärfe. Somit gibt es für eine Camera obscura einen optimalen Lochdurchmesser. Weiterhin muss bei dieser Optimierung neben den Abbildungseigenschaften auch berücksichtigt werden, dass mit einem kleineren Lochdurchmesser der Lichtstrom abnimmt und damit die Belichtungszeiten zunehmen.

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Die Schärfentiefe ist ein Längenmaß (oder exakter Raummaß) für die Ausdehnung des scharfen Bereichs im Objektraum eines abbildenden optischen Systems (des Raums in der Lichtrichtung vor der Linse), fälschlicherweise auch Tiefenschärfe genannt.

Die optimale Einstellweite ergibt sich also aus dem harmonischen Mittel aus Nah- und Fernpunktdistanz. Da sich durch die Quotientenbildung die Normierungsfaktoren wegkürzen, gelten die letzten Betrachtungen unabhängig von der gewählten Normierung, g = x ¯ harmon ( d f , d n ) {\displaystyle g={\overline {x}}_{\text{harmon}}(d_{f},d_{n})} ist also äquivalent zu g = x ¯ harmon ( d f , d n ) {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\overline {x}}_{\text{harmon}}({\mathfrak {d}}_{f},{\mathfrak {d}}_{n})} . Für jedes Triplet g , d f , d n {\displaystyle {\mathfrak {g}},{\mathfrak {d}}_{f},{\mathfrak {d}}_{n}} , für das gilt: 2 g = 1 d f + 1 d n {\displaystyle {\frac {2}{\mathfrak {g}}}={\frac {1}{{\mathfrak {d}}_{f}}}+{\frac {1}{{\mathfrak {d}}_{n}}}} (siehe Definition des harmonischen Mittels), gelten in der Näherung auch die Beziehungen: g ≈ d f 1 + d f {\displaystyle {\mathfrak {g}}\approx {\frac {{\mathfrak {\mathfrak {d}}}_{f}}{1+{\mathfrak {d}}_{f}}}} und g ≈ d n 1 − d n {\displaystyle {\mathfrak {g}}\approx {\frac {{\mathfrak {\mathfrak {d}}}_{n}}{1-{\mathfrak {d}}_{n}}}} . (Obwohl zunächst einfachheitshalber mit der Näherung gerechnet wird, wird am Schluss eine exakte Beziehung stehen.) Durch Verknüpfung dieser Beziehungen: d f 1 + d f ≈ d n 1 − d n {\displaystyle {\frac {{\mathfrak {\mathfrak {d}}}_{f}}{1+{\mathfrak {d}}_{f}}}\approx {\frac {{\mathfrak {\mathfrak {d}}}_{n}}{1-{\mathfrak {d}}_{n}}}} und auflösen nach 1 ergibt sich: 1 ≈ 2 ⋅ d f ⋅ d n Δ d {\displaystyle 1\approx {\frac {2\cdot {\mathfrak {d}}_{f}\cdot {\mathfrak {d}}_{n}}{\Delta {\mathfrak {d}}}}} . Durch einsetzen obiger Beziehungen für d f , d n {\displaystyle {\mathfrak {d}}_{f},{\mathfrak {d}}_{n}} und Δ d {\displaystyle \Delta {\mathfrak {d}}} ergibt sich das genaue Ergebnis zu: 2 ⋅ d f ⋅ d n Δ d = g g ∗ {\displaystyle {\frac {2\cdot {\mathfrak {d}}_{f}\cdot {\mathfrak {d}}_{n}}{\Delta {\mathfrak {d}}}}={\frac {g}{g^{*}}}} . Zum gleichen Resultat hätte auch die exakte Rechnung geführt, nur mit größerem Aufwand bei Herleitung und Darstellung. Auf der anderen Seite zeigt sich aber auch, dass bei ausreichend großer Gegenstandsweite ( g ≫ f {\displaystyle g\gg f} bzw. g ≫ f {\displaystyle {\mathfrak {g}}\gg {\mathfrak {f}}} ) die Näherung angewandt werden darf.

Solange die Ungleichung k ⋅ Z ⋅ β − 1 ≪ f {\displaystyle k\cdot Z\cdot \beta ^{-1}\ll f} gilt, kann der zweite Term im Nenner vernachlässigt werden und es ergibt sich folgende Näherung:

Eine zusätzlich eingebaute Linse sorgt dafür, dass im idealen Fall bei einer bestimmten Entfernung der Bildebene von der Linse eine scharfe Abbildung auftritt. Bei dieser Position entfällt also die obige Ungenauigkeit und die Blendenöffnung kann im Interesse besserer Lichtausbeute wesentlich vergrößert werden. Erst wenn es um Objektpunkte geht, die vor oder hinter dieser scharf abgebildeten Position liegen, verringert sich diese Schärfe und sinkt mit wachsendem Abstand auf den Wert, den die Blende allein als Camera obscura bewirken würde. Genauer:

Für die Berechnung wurde eine normale Brechkraft des Auges Φ normal {\displaystyle \Phi _{\text{normal}}} von 59 Dioptrien angenommen. Daraus resultiert eine Normalbrennweite f normal = 1 Φ normal {\displaystyle f_{\text{normal}}={\frac {1}{\Phi _{\text{normal}}}}} von 16,95 Millimetern und ein Bildkreisdurchmesser d {\displaystyle d} von 14,6 Millimetern. Wenn für die Anzahl der Punkte auf der Bilddiagonalen N {\displaystyle N} 1500 angenommen wird, dann beträgt der Durchmesser des akzeptablen Zerstreuungskreises Z {\displaystyle Z} 9,74 Mikrometer. Bei unkorrigierter Kurzsichtigkeit kann das Auge nur auf eine maximale Gegenstandsweite g {\displaystyle g} scharfstellen, die sich mit Hilfe der Abbildungsgleichung aus der tatsächlichen Brechkraft Φ {\displaystyle \Phi } ergibt, die üblicherweise als negative Dioptriendifferenz Δ Φ {\displaystyle \Delta \Phi } angegeben wird:

Sowohl unter wellen- als auch unter strahlenoptischer Betrachtungsweise ergibt sich für sehr große Gegenstandsweiten somit Z min, w ∗ = Z min, s ∗ = D 0 {\displaystyle Z_{\text{min, w}}^{*}=Z_{\text{min, s}}^{*}=D_{0}} , d. h., sofern der Zerstreuungskreisdurchmesser Z {\displaystyle Z} größer ist als der Durchmesser des Unschärfekreises Z ∗ = Z w ∗ + Z s ∗ {\displaystyle Z^{*}=Z_{w}^{*}+Z_{s}^{*}} , liegt der Fernpunkt des Schärfentiefebereichs immer im Unendlichen, ansonsten gibt es keine optimal scharfe Darstellung. Mit zunehmenden β {\displaystyle \beta } sinkt der optimale Lochdurchmesser:

Für die Makrofotografie ergibt sich somit eine gute Näherung für die Schärfentiefe, die keine explizite Abhängigkeit von der Brennweite enthält und stattdessen vom Abbildungsmaßstab abhängt.

In der Makrofotografie wird f g E − f {\displaystyle {\frac {f}{g_{E}-f}}} durch den Abbildungsmaßstab β {\displaystyle \beta } substituiert und es ergibt sich:

Wie klein g {\displaystyle g} tatsächlich sein muss hängt vor allem vom akzeptablen Fehler und im geringen Maß von der Brennweite ab. Wird ein relativer Fehler von einem Prozent toleriert, darf die Differenz zwischen Gegenstandsweite und Brennweite 20 % der Hyperfokaldistanz nicht überschreiten.

bestimmt das Verhältnis von Gegenstandsweite zur Bildweite und somit über die Linsenformel die Relation zwischen Gegenstandsweite und Brennweite:

Wenn die eingestellte Gegenstandsweite größer oder gleich der hyperfokalen Entfernung ist ( g ≥ d h {\displaystyle g\geq d_{h}} ), dann ist der Schärfentiefebereich unendlich, da der Fernpunkt dann im Unendlichen liegt.

Aus dem minimal möglichen Unschärfekreis Z ∗ < Z = d / 1500 {\displaystyle Z^{*}

Für g = d h = 1 + f {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {d}}_{h}=1+{\mathfrak {f}}} ergeben sich die bekannten Beziehungen:

Durch Kürzen und Multiplikation mit der Beziehung β β + 1 = f g {\displaystyle {\frac {\beta }{\beta +1}}={\frac {f}{g}}} ergibt sich:

Es ist zu beachten, dass sich bei einer Fokussierung auf die Bildweite b ≠ f {\displaystyle b\neq f} der Abstand zwischen Objektiv und Sensor ändert, und somit auch der Öffnungswinkel der Abbildung. Ein Ansatz, der von einer Beziehung zwischen b {\displaystyle b} und d {\displaystyle d} ausgeht, steht also im Widerspruch zu den Eingangsvoraussetzungen. Setzt man dies in die Gleichung für die hyperfokale Entfernung ein, ergibt sich:

Als Anwendungsbeispiel nehmen wir einen jungen Beobachter mit einer Akkommodationsbreite von 10 dpt, der sein 8x42 Fernglas am Tage (effektive Austrittspupille = 0.003 m) auf die hyperfokale Distanz von 192 m fokussiert. Der von diesem Beobachter wahrgenommene Schärfentiefebereich erstreckt sich dann zwischen 6,17 m und Unendlich.

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Für eine Annäherung an Z {\displaystyle Z} kann folgende Formel mit d {\displaystyle d} als Formatdiagonale des Aufnahmeformates in mm und N {\displaystyle N} als Anzahl der zu unterscheidenden Punkte entlang der Diagonalen verwendet werden:

wobei der zusätzliche Term im Nenner eine weiter Näherung erfordert: g ≫ f {\displaystyle g\gg f} , dies ist im Bereich der Makrofotografie ganz offensichtlich nicht mehr gegeben, für den Abbildungsmaßstab β = 1:1 {\displaystyle \beta ={\texttt {1:1}}} ergibt sich das Verhältnis zu:

Der Begriff Schärfentiefe spielt in der Fotografie eine zentrale Rolle und beschreibt die Größe des Entfernungsbereichs, innerhalb dessen ein Objekt hinlänglich scharf abgebildet wird. In der Regel wird eine große Schärfentiefe durch kleine Blendenöffnungen oder Objektive mit kurzen Brennweiten erreicht: Von vorn bis hinten sieht dann alles mehr oder weniger scharf aus. Das Gegenteil der weitgehenden Schärfe, die weitgehende Unschärfe, ist eine Variante[1][2] des sogenannten „Film-Look[s]“, wobei der Bereich der Schärfentiefe klein gehalten wurde (englisch: shallow): Die Kamera zeichnet die zentrale Figur scharf, eventuell nur das Auge einer Person,[3] während alles vor und hinter ihr unscharf erscheint. Der Begriff „Schärfentiefe“ fand erstmals 1970 Eingang in die Norm DIN 19040-3.

Für kleine Gegenstandsweiten ( g ≪ 1 {\displaystyle {\mathfrak {g}}\ll 1} , d. h. die Gegenstandsweite ist klein im Verhältnis zur Hyperfokaldistanz) erstreckt sich der Schärfebereich etwa zu gleichen Teilen vor und hinter der Gegenstandsweite. Mit zunehmender Gegenstandsweite divergiert das Verhältnis sehr schnell und für g ≥ 1 + f {\displaystyle {\mathfrak {g}}\geq 1+{\mathfrak {f}}} (Gegenstandsweite größer der Hyperfokaldistanz) gibt es keine sinnvollen Lösungen mehr, da der Fernpunkt des Schärfebereiches dann im Unendlichen liegt. Da sich für die Fern- und Nahpunktdistanz das gleiche Verhältnis ergibt gilt:

Hier steht d ′ {\displaystyle d'} für den Durchmesser der effektiven Austrittspupille, d. h. der kleinere der beiden Werte: Durchmesser der Austrittspupille und Durchmesser der Augenpupille. Der Beitrag 0.001 / d ′ {\displaystyle 0.001/d'} zur Schärfentiefe stammt von dem bei der visuellen Beobachtung als tolerabel angenommenen Zerstreuungskreis.[5] Die hyperfokale Entfernung ergibt sich aus der Fokussierweite, bei der der rechte Term in obiger Gleichung divergiert, d. h.

Zerstreuungskreise entstehen, weil die von der Linse (dem Objektiv) auf die Bildebene (den Film) fallenden Lichtkörper Kegel sind. Durch Schnitt der Bildebene mit einem Kegel entsteht auf der Ebene ein Kreis. Eng nebeneinander liegende Punkte, die nicht in der Gegenstandsebene liegen, werden durch eng nebeneinander liegende Zerstreuungskreise abgebildet, die sich überdecken und in den Randbereichen vermischen, wodurch ein unscharfes Bild entsteht.

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Das gleiche Ergebnis resultiert aus folgender Betrachtung: Unter Zuhilfenahme zweier Konstanten c 1 = 1 + β {\displaystyle c_{1}=1+\beta } und c 2 = 1 , 22 ⋅ λ ⋅ b {\displaystyle c_{2}=1{,}22\cdot \lambda \cdot b} und Addition der wellenoptischen und strahlenoptischen Unschärfen ergibt sich:

Da diese Unschärfekreise auf allen Sensoren gleich groß sind, Fotos von Kameras mit kleinen Sensoren jedoch stärker vergrößert werden müssen, um die üblichen Betrachtungsformate zu erhalten, erhält man am Ende mit kleinen Sensoren grundsätzlich größere Unschärfekreise. Dies gilt jedoch nicht, wenn der Bildwinkel erhalten bleiben soll. Dann gilt, dass das Verhältnis von Brennweite zu Sensordiagonalen konstant sein muss. Da die Brennweite aber quadratisch in den Durchmesser des Unschärfekreises eingeht, erhält man mit großen Sensoren dann die größeren Unschärfekreise.

Das Ziel dieser generalisierten Betrachtung ist, durch geeignete Normierung eine verallgemeinerte Formulierung des Sachverhaltes zu finden. Als Ausgangspunkt dienen wieder die Gleichungen für den Nah- und Fernpunkt des Schärfentiefebereichs. Indem die rechte Seite der Gleichung um den Faktor k ⋅ Z {\displaystyle k\cdot Z} gekürzt wird ergibt sich:

Hierbei ist Z {\displaystyle Z} der maximal zulässige Zerstreuungskreis, β {\displaystyle \beta } der Abbildungsmaßstab und λ {\displaystyle \lambda } die Wellenlänge.

Somit ergibt sich für ganzzahlige j ≥ 2 {\displaystyle j\geq 2} eine Folge von Schärfentiefenbereiche, deren Fernpunkte annähernd bei d h / ( j − 1 ) {\displaystyle d_{h}/(j-1)} und deren Nahpunkte annähernd bei d h / ( j + 1 ) {\displaystyle d_{h}/(j+1)} liegen, wenn auf eine Entfernung von d h / n {\displaystyle d_{h}/n} fokussiert wird.

Eine weitere konkrete und praktisch relevante Frage ist die nach dem Gewinn an Schärfentiefe, wenn auf die hyperfokale Distanz fokussiert wird, anstatt auf eine unendliche Gegenstandsweite. Um diese Frage beantworten zu können, muss lim g → ∞ d n ( g ) {\displaystyle \lim _{g\to \infty }d_{n}(g)} berechnet werden. Es ergibt sich für den Nahpunkt:

In der Praxis wird sich recht häufig die Situation ergeben, dass eine Szene fotografiert werden soll, die sich über eine endliche Tiefe des Raumes erstreckt. Sodann stellt sich die Frage nach der optimalen Einstellweite g E {\displaystyle g_{E}} , welche die größtmögliche Schärfentiefe für die gegebene Szene erzeugt. Für eine endliche Fernpunktdistanz

Es sind grundsätzlich zwei verschiedene Anordnungen zu unterscheiden: Die Camera obscura, die lediglich aus einer einzigen Lochblende besteht, und ein Linsensystem, das so eine Blende ebenfalls enthält, aber zusätzlich noch (mindestens) eine Linse (vor oder hinter der Blende), die eine reguläre optische Abbildung produziert.

ergibt sich wieder die Näherung die weiter oben schon mal hergeleitet wurde. Mit der hier gegebenen Fehlerbetrachtung wurde gezeigt, dass die Näherung nur eingeschränkt anwendbar ist.

Die Rayleighsche Schärfentiefe ist bei beugungsbegrenzten optischen Systemen relevant, zum Beispiel in der Mikroskopie oder in der Fotolithografie. In der Fotografie macht sich eine wellenoptische Unschärfe jenseits der förderlichen Blende k f {\displaystyle {k_{f}}} bildwirksam bemerkbar.

Eine Normierung auf die Hyperfokaldistanz d h {\displaystyle d_{h}} erscheint nicht zielführend, da es nicht gelingt, die Brennweite aus dem Nenner der Formel für den Nahpunkt zu eliminieren. Zudem legt die Form der Gleichung nahe, stattdessen auf deren Näherung d h − f = f 2 k ⋅ Z = d h ∗ {\displaystyle d_{h}-f={\frac {f^{2}}{k\cdot Z}}=d_{h}^{*}} zu normieren, was zulässig ist, da die Normierung frei gewählt werden kann. Die generalisierten Größen ergeben sich dann aus den metrischen Größen zu: x = k ⋅ Z f 2 ⋅ x {\displaystyle {\mathfrak {x}}={\frac {k\cdot Z}{f^{2}}}\cdot x} , ( x = d , f , g . . . {\displaystyle x=d,f,g...} ) und obige Formel vereinfacht sich zu:

erkennt man, dass, wenn die Bedingung f 2 = k ⋅ Z ⋅ ( g − f ) {\displaystyle f^{2}=k\cdot Z\cdot (g-f)} erfüllt ist, sich eine Singularität ergibt. Die Einstellweite g {\displaystyle g} , die diese Bedingung erfüllt nennt man Hyperfokaldistanz:

ist die Ähnlichkeit der Beziehungen augenfällig. Insbesondere erkennt man, dass bei Verringerung der Einstellweite auf die Entfernung des bisherigen Nahpunktes, der neue Fernpunkt in der Entfernung der bisherigen Gegenstandsweite liegt. Es ergibt sich also für jede Fernpunktdistanz d f 0 < ∞ {\displaystyle {\mathfrak {d}}_{f_{0}}<\infty } eine Folge subsequenter Schärfentiefebereiche mit:

Für die Schärfentiefe Δ d {\displaystyle \Delta {\mathfrak {d}}} ergibt sich eine weitere Näherung unter der Bedingung g ∗ ≪ 1 {\displaystyle {\mathfrak {g^{*}}}\ll 1} , also für Einstellweiten, die viel kleiner als die Hyperfokaldistanz sind. In dem Fall reduziert sich die Gleichung zu:

Dieser Näherung liegt die Annahme zugrunde, dass das menschliche Auge über die Bilddiagonale maximal 1500 Punkte auflösen kann, wenn der Sehabstand etwa gleich der Bilddiagonalen ist. Für technische Anwendungen mit höherer Bildauflösung muss N {\displaystyle N} gegebenenfalls deutlich höher gewählt werden.

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Aus der Näherungsformel für die hyperfokale Entfernung d h {\displaystyle d_{h}} kann leicht abgelesen werden, dass diese zunimmt und der Schärfentiefebereich somit abnimmt, wenn die Brennweite f {\displaystyle f} zunimmt, die Blendenzahl k {\displaystyle k} kleiner wird (respektive die Blendenöffnung größer) oder der Zerstreuungskreis Z {\displaystyle Z} kleiner sein soll.

Der Nahpunkt liegt also bei der halben hyperfokalen Entfernung, und in diesem Fall werden Gegenstände von unendlich bis zur halben hyperfokalen Entfernung hinreichend scharf abgebildet. Die allgemeine Beziehung zwischen Nahpunkt und Einstellweite erhält man, wenn man die Kehrwerte von Nah- und Fernpunkt addiert:

Damit kann bei gegebener Gegenstandsweite g {\displaystyle g} der Nah- bzw. Fernpunkt g ± {\displaystyle g_{\pm }} bei gegebener Blende k {\displaystyle k} und Zerstreuungskreisrdurchmesser Z {\displaystyle Z} berechnet werden.

Eine für N ≫ 1 {\displaystyle N\gg 1} zu vermutende annähernd reziproke quadratische Abhängigkeit der Schärfentiefe vom Parameter N {\displaystyle N} ist praktisch nicht gegeben, da mit steigendem N {\displaystyle N} sehr schnell der durch die Näherung verursachte Fehler wächst (siehe unten).

Alternativ kann statt des Terms k ⋅ Z {\displaystyle k\cdot Z} auch f 2 {\displaystyle f^{2}} schon in der Formeln für den Fern- und Nahpunkt durch d h {\displaystyle d_{h}} ausgedrückt werden. Über den Zwischenschritt

Der Unschärfekreis wurde mit einem ∗ {\displaystyle *} indiziert, um kenntlich zu machen, dass es sich hier nicht um den maximal zulässigen Zerstreuungskreis handelt, der sich aus der Bilddiagonalen und dem optischen Auflösungsvermögen des Auges bestimmt. Die Gegenstandsweite wurde mit dem Index E {\displaystyle E} gekennzeichnet, da sie hier die Einstellweite darstellt, auf die das Objektiv fokussiert wurde. g ′ {\displaystyle g'} bezeichnet die Gegenstandsweite eines Lichtpunktes, der außerhalb des Schärfentiefebereichs liegt und mit dem Durchmesser Z ∗ {\displaystyle Z^{*}} auf dem Sensor abgebildet wird. Es ist offensichtlich, dass sich für g ′ = ∞ {\displaystyle g'=\infty }

Wenn der Fernpunkt unendlich wird, hat das Auge mindestens auf die hyperfokale Entfernung fokussiert. Es ist dann für das hinreichend scharfe Sehen in der Ferne nicht mehr erforderlich, noch größere Entfernungen optimal scharfzustellen. Wird der Fernpunkt im Unendlichen nicht erreicht, liegt eine Kurzsichtigkeit vor, die nur durch Sehhilfen kompensiert werden kann.

Eine eingeschränkte Schärfentiefe kann bei fotografischen Aufnahmen mit punktförmigen Objekten, die sich etwas außerhalb der scharf abgebildeten Gegenstandsweite befinden, zu sogenannten Geisterflecken in der Aufnahme führen.

Verringert man die Einstellweite derart, dass der Fernpunkt des Schärfentiefenbereichs der Hyperfokaldistanz entspricht ergibt sich eine interessante Reihe subsequenter Schärfentiefebereiche. Ausgangspunkt der Betrachtung ist, dass eine Verringerung der Einstellweite auf g = d h / q {\displaystyle g=d_{h}/q} zum gewünschten Ergebnis führt, dann wird beim q-fachen der Einstellweite der Nenner in der Formel für die Distanz zum Fernpunkt Null und es ergibt sich folgende Beziehung:

wobei die Näherung unter der Bedingung f ≪ d h {\displaystyle f\ll d_{h}} gültig ist. Das heißt, dass die neue Einstellweite annähernd der halben Hyperfokaldistanz entspricht, also in der Distanz des ehemaligen Nahpunktes liegt. Indem der Vorgang j-fach wiederholt wird ergibt sich:

Bei visuell genutzten Optiken hängt der wahrgenommene Schärfentiefebereich auch von der Akkommodationsbreite des Beobachters ab. Unter der Annahme, dass das Auge auf den Entfernungsbereich zwischen einem Nahpunkt von x {\displaystyle x} Meter und Unendlich akkommodieren kann, erhalten wir eine Akkommodationsbreite von δ a c c = 1 / x {\displaystyle \delta _{acc}=1/x} dpt. Wird nun ein fernoptisches Instrument mit einer Vergrößerung m {\displaystyle m} auf die Entfernung E f o k {\displaystyle E_{fok}} fokussiert, so dass das virtuelle Bild eines Objekts dieser Entfernung im Unendlichen liegt, dann erhält man einen Schärfentiefebereich (in Meter) von [4]

Für sehr große Gegenstandsweiten g {\displaystyle g} vereinfacht sich die Bedingung zu: D ≦ Z {\displaystyle D\leqq Z} . Das heißt, der Lochdurchmesser darf nicht größer werden als der zulässige Zerstreuungskreisdurchmesser, sonst ist mit einer Lochkamera auch im Fernbereich keine hinreichend scharfe Abbildung mehr möglich.

Die Problematik, mit einer Gleitsichtbrille die Schärfe auf der Kamera-Mattscheibe nur schlecht einstellen zu können wird durch Kameras mit Autofokus-System oder Mattscheiben mit Ausrichtungslinien behoben. Erst anhand einer scharfen Bildebene kann die Tiefenschärfe durch Änderung der Kamera- oder Objektiveinstellungen bewusst variiert werden.

als exakte Lösung ergibt und für hinreichen große g ′ {\displaystyle g'} , also 1 ≫ g E g ′ {\displaystyle 1\gg {\frac {g_{E}}{g'}}} als zulässige Näherung:

lässt sich durch Umformung und Auflösung der Gleichung nach g E {\displaystyle g_{E}} die Einstellweite bestimmen. Es ergibt sich für die Einstellweite: